Học toán để làm gì?

Cuộc sống xung quanh chúng ta, như được thuật lại trong câu chuyện quán nước hàng ngày, hay trên báo chí, có rất nhiều những con số cùng suy diễn trên cơ sở những con số đó. Những suy diễn đó đôi khi đúng, nhưng đa phần lại rất không đúng. Chúng thường xuyên dẫn chúng ta đến những đánh giá sai lầm về quá khứ, hiện tại và tương lai, về những gì đang xảy ra ở tầm vĩ mô cũng như những gì xảy ra ngay bên cạnh chúng ta. Tại sao những con số, những suy diễn có vẻ có lý lại dẫn chúng ta đến những nhận thức sai lầm, đó là những gì tác giả Jordan Ellenberg muốn giải thích qua quyển sách “Để không phạm sai lầm”.

Khi một người bạn kể với bạn rằng anh họ của anh ta được chữa khỏi bệnh gút nhờ vào một bài thuốc thảo dược nào đó, bạn có nên tin hay không? Khi có nhiều hơn một người bạn kể lại cùng một câu chuyện đó thì niềm tin của bạn sẽ tăng lên bao nhiêu lần? Khi nào thì một chuỗi những sự kiện có thể được coi là có ý nghĩa thống kê? Khái niệm ý nghĩa thống kê thực sự có ý nghĩa hay không và chúng ta nên tin tưởng nó đến mức nào? Thế nào là xác suất tiên nghiệm, thế nào là xác suất hậu nghiệm, định lý Bayes nói gì? Đó là những điều mà Jordan Ellenberg giải thích cặn kẽ qua nhiều tình huống sinh động của cuộc sống.

Quyển sách này là món quà tuyệt vời cho những người hay đặt ra câu hỏi: Khái niệm này trong toán học liên quan gì đến thực tế? Tác giả không chỉ đưa ra một mà vô cùng nhiều tình huống thực tế để minh họa cho những khái niệm toán học mà ông cho là quan trọng. Cần chú ý gì khi rút ra kết luận về những vị trí cần củng cố vỏ thép máy bay dựa trên thống kê vị trí vết đạn trên những máy bay chiến đấu quay về từ những trận không chiến khốc liệt? Tại sao dự đoán về tỷ lệ béo phì trong dân số đôi khi đưa ta đến những kết luận rất hài hước? Tại sao hồi quy tuyến tính thường xuyên dẫn ta đến những kết luận sai lầm? Tại sao ta không nên quá ngạc nhiên về những phát hiện thần bí về mật mã trong kinh Cựu ước? Tại sao cách vận dụng sai xác suất điều kiện sẽ đưa chúng ta đến những kết luận nguy hiểm trong việc sử dụng mạng xã hội để chống khủng bố?

Jordan Ellenberg vốn là một thần đồng. Anh tự học đọc khi mới hai tuổi. Lên sáu tuổi, anh giúp cô trông trẻ giải bài tập toán cấp ba, rồi sau đó đi học lớp giải tích ở Đại học Maryland ngay khi còn ở cấp hai. Sau khi giành hai huy chương vàng với điểm tuyệt đối và một huy chương bạc ở các kỳ thi IMO 1987, 1988, 1989, anh đi học toán ở Harvard và sau đó làm luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Barry Mazur, một trong những nhà toán học lỗi lạc nhất nửa cuối thế kỷ 20. Bây giờ Jordan Ellenberg là giáo sư Đại học Wisconsin ở Madison. Tuy được đánh giá là một trong những chuyên gia hàng  đầu trong lĩnh vực chuyên môn của mình là lý thuyết số, nhưng Jordan Ellenberg đã chiến thắng được lời nguyền thần đồng để trở thành một người bình thường, sống một cuộc sống gia đình như nhiều người khác, là một giáo sư đại học như nhiều giáo sư khác, được những người xung quanh tôn trọng như bất kỳ một công dân lương thiện nào khác, được các đồng nghiệp tôn trọng về những công trình nghiên cứu chuyên môn. Phần thần đồng của anh dường như chỉ được thể hiện một cách chói lọi trong tiểu thuyết đầu tay “Vua châu chấu” được giới phê bình đánh giá rất cao và bây giờ là quyển sách phi hư cấu “Để không phạm sai lầm”.

Văn phong của Jordan Ellenberg mang đậm tính hài hước của giới hàn lâm Mỹ. Các dịch giả đã hết sức nỗ lực để truyền tải tính hài hước này qua tiếng Việt nhưng phải thừa nhận rằng đó là điều rất khó, vì hài hước không hoàn toàn chỉ là hiệu ứng của ngôn từ mà còn bị chi phối rất nhiều bởi bối cảnh văn hoá. Đối với những tình huống thực tế lấy từ bóng rổ, bầu cử ở Mỹ hay những cuộc tranh luận xung quanh kinh Cựu ước, độc giả Việt Nam có thể sẽ không có cùng mức độ nhận thức trực quan như độc giả Mỹ. Tuy vậy, tôi tin rằng cuốn sách này sẽ đem đến cho bạn đọc những niềm vui thực sự, nếu không phải là tiếng cười sảng khoái bên ngoài thì sẽ là tiếng cười rộn ràng ở bên trong.

Xin giới thiệu một số trích đoạn trong cuốn sách này tới bạn đọc.

ABRAHAM WALD VÀ NHỮNG LỖ ĐẠN CÒN THIẾU

Toán học là một phần không thể tách rời trong những lập luận của chúng ta. Và toán học giúp chúng ta giỏi hơn trong mọi việc. Hiểu biết về toán giống như việc đeo một chiếc kính X-quang giúp nhìn thấu các cấu trúc bên dưới bề mặt lộn xộn và hỗn loạn của thế giới. Toán học là môn khoa học giúp tránh phạm sai lầm, các kỹ thuật và đặc điểm của nó được đúc rút qua hàng thế kỷ làm việc và thảo luận chăm chỉ. Với công cụ toán học trong tay, chúng ta có thể hiểu thế giới theo một cách sâu sắc hơn, vững chắc hơn và có ý nghĩa hơn. Các vấn đề mà chúng ta nghĩ đến hằng ngày - như chính trị, y tế, thương mại, thần học - đều hàm chứa rất nhiều các khái niệm toán học. Hiểu được điều đó giúp chúng ta sẽ thu nhận được vốn hiểu biết sâu sắc hơn bất kỳ phương tiện nào khác mang lại.

Câu chuyện Abraham Wald và những lỗ đạn này, như nhiều câu chuyện về Đại chiến Thế giới lần thứ hai khác, bắt đầu khi quân Đức Quốc xã săn lùng một người Do Thái ở châu Âu và kết thúc với sự hối tiếc của chúng về điều đó. Abraham Wald sinh năm 1902 ở thành phố Klausenburg, bấy giờ thuộc Đế quốc Áo-Hung. Khi Wald còn là một thanh niên, Đại chiến Thế giới lần thứ nhất kết thúc và thành phố quê anh trở thành vùng Cluj, Romania. Là cháu nội một giáo sĩ Do Thái và con trai một thợ làm bánh cho người Do Thái, nhưng cậu thanh niên Wald đã là một nhà toán học ngay từ rất sớm. Tài năng toán học của anh nhanh chóng được phát hiện, và anh được nhận vào học toán ở trường Đại học Viên, nơi mà anh bị thu hút vào các chủ đề trừu tượng và khó hiểu ngay cả theo các tiêu chuẩn của toán học thuần túy: Lý thuyết tập hợp và không gian mêtric.

Nhưng khi các nghiên cứu của Wald hoàn thiện vào giữa thập niên 1930, nước Áo vẫn chìm trong cơn kiệt quệ kinh tế, và không có cơ hội cho người nước ngoài trở thành giáo sư ở Viên. Một công việc từ Oskar Morgenstern đã cứu Wald. Morgenstern về sau đã nhập cư vào Mỹ và giúp phát minh ra lý thuyết trò chơi, nhưng vào năm 1933 ông là giám đốc của Viện nghiên cứu kinh tế Áo, nơi ông thuê Wald với một mức lương bèo bọt để làm các công việc vặt liên quan tới toán học. Điều này hóa ra lại là một bước đệm tốt cho Wald: Kinh nghiệm trong lĩnh vực kinh tế giúp anh giành được học bổng tại Ủy ban Cowles, một viện kinh tế lúc đó được đặt ở Colorado Springs (Mỹ). Bất chấp tình hình chính trị nước Áo ngày càng xấu đi, Wald vẫn lưỡng lự chưa quyết định đi một bước có thể khiến anh rời xa khỏi toán học thuần túy. Nhưng rồi việc Đức quốc xã xâm chiếm Áo giúp quyết định của Wald trở nên dễ dàng hơn đáng kể. Chỉ sau vài tháng ở Colorado, anh được mời làm giáo sư thống kê ở Columbia; anh lại đóng gói đồ đạc và lên đường tới New York.

Và đó là nơi anh tham chiến.

Nhóm nghiên cứu thống kê (SRG), nơi Wald dành nhiều thời gian trong Đại chiến Thế giới lần thứ hai, là một chương trình bí mật móc nối sức mạnh tổng hợp của các nhà thống kê Hoa Kỳ với các nỗ lực chiến tranh - một thứ giống như Dự án Manhattan, chỉ khác là các vũ khí được phát triển ở đây là những phương trình chứ không phải chất nổ. Và SRG thực ra lại ở chính Manhattan, nằm tại số 401 phía Tây phố 118 Morningside Heights, chỉ cách Đại học Columbia vài dãy nhà. Tòa nhà này giờ đây là khu nhà ở cho giảng viên Đại học Columbia và văn phòng của một số tiến sĩ, nhưng vào năm 1943 nó là trung tâm đầu não ồn ào và náo nhiệt của toán học thời chiến. Tại Nhóm Toán học ứng dụng - Columbia, hàng tá phụ nữ trẻ gò lưng bên những máy tính cơ Marchant tính toán các biểu thức để tìm quỹ đạo bay tối ưu cho máy bay tiêm kích sao cho luôn bám sát máy bay địch. Ở một tòa nhà khác, một nhóm các nhà nghiên cứu từ Princeton đang phát triển các quy trình đánh bom chiến lược. Và nhóm dự án bom hạt nhân của Columbia ở ngay phòng bên cạnh.

Nhưng trong số các nhóm này, SRG là nhóm có nhiều quyền lực nhất và có ảnh hưởng lớn nhất. Môi trường này là sự kết hợp giữa sự cởi mở và sức mạnh to lớn về trí tuệ của một cơ sở hàn lâm với ý thức chung về mục đích vốn chỉ xuất hiện trong những tình huống sống còn. “Khi chúng tôi đưa ra các khuyến nghị”, giám đốc W. Allen Wallis viết, “thường thì mọi việc sẽ diễn ra như thế. Máy bay chiến đấu lao vào trận đánh mang theo súng máy trộn lẫn các loại đạn theo đúng khuyến nghị và phi công có lúc trở về, có lúc thì không”.

Tài năng toán học của nhóm cũng tương xứng với tầm quan trọng của nhiệm vụ. Theo lời của Wallis, SRG là “nhóm những nhà thống kê lỗi lạc nhất từng được tổ chức, cả về số lượng lẫn chất lượng”. Frederick Mosteller, người sau này thành lập khoa thống kê của Harvard, từng là thành viên của nhóm. Cả Leonard Jimmie Savage, nhà tiên phong cho lý thuyết ra quyết định và người ủng hộ nhiệt thành cho lĩnh vực sau này gọi là thống kê Bayes cũng từng ở đó. Norbert Wiener, nhà toán học của trường MIT và là nhà sáng tạo ra điều khiển học, cũng tham gia nhưng không thường xuyên. Đây là nhóm mà Milton Friedman, nhà kinh tế học đoạt giải Nobel sau này, thường là người xuất sắc thứ tư.

Người thông minh nhất phòng thường là Abraham Wald. Wald từng là thầy của Allen Wallis ở trường Columbia và đóng vai trò người lãnh đạo về toán học của nhóm. Do vẫn là một “kẻ ngoại đạo” nên theo nguyên tắc Wald không được phép xem các báo cáo mật của mình; có một câu chuyện đùa trong nội bộ SRG rằng những người thư ký được lệnh giật các trang ghi chép ra khỏi tay ông ngay sau khi ông vừa viết xong. Wald, ở một mức độ nào đó, là một thành viên không được trông đợi. Ông lúc nào cũng thiên về sự trừu tượng và xa rời những ứng dụng trực tiếp. Nhưng động cơ của ông về việc sử dụng tài năng để chống lại phe Trục là rõ ràng. Và khi bạn cần biến một ý tưởng mơ hồ thành toán học vững chắc, Wald là người bạn muốn có bên cạnh.

Và đây là câu hỏi. Để giúp máy bay khó bị đối phương bắn hạ, ta sẽ tăng cường giáp cho nó. Nhưng lớp vỏ giáp khiến máy bay nặng hơn và chiếc máy bay nặng hơn thì khó di chuyển hơn và tốn nhiên liệu hơn. Bọc giáp quá nhiều là vấn đề; nhưng bọc quá ít cũng là vấn đề. Phương án tối ưu nằm đâu đó ở giữa. Lý do một nhóm các nhà toán học tập trung trong một căn hộ ở New York chính là để tìm ra cách tối ưu đó.

Quân đội đến gặp SRG với một vài dữ liệu họ cho là có thể hữu dụng. Khi các máy bay chiến đấu Mỹ quay trở lại sau khi tham chiến ở châu Âu, chúng bị phủ đầy các lỗ đạn. Nhưng sự hư hại không phân bố đều trên máy bay. Phần thân máy bay có nhiều lỗ đạn, còn ở động cơ thì không có mấy.

Các sĩ quan thấy một cơ hội nâng cao hiệu suất; có thể dùng ít giáp hơn mà vẫn bảo vệ được máy bay nếu tập trung lớp giáp ở những nơi cần thiết nhất, chính là nơi mà máy bay thường bị trúng đạn nhiều nhất. Nhưng chính xác là cần thêm bao nhiêu giáp cho các phần đó của máy bay? Đó là câu trả lời họ muốn khi tìm đến Wald. Nhưng câu trả lời mà họ nhận được lại hoàn toàn khác.

Lớp giáp, Wald nói, không cần dùng cho những nơi có nhiều lỗ đạn. Nó cần được bọc ở những nơi không có lỗ đạn: Động cơ.

Sự sáng suốt của Wald đơn giản nằm ở việc hỏi: Các lỗ đạn còn thiếu ở đâu? Các lỗ đạn đáng lẽ phải rải khắp trên vỏ động cơ, nếu các hư hại phân bố đều nhau trên toàn bộ máy bay? Wald khá chắc chắn là ông biết câu trả lời. Các lỗ đạn còn thiếu nằm trên các máy bay bị hạ. Lý do các máy bay quay trở về có ít lỗ đạn trên động cơ là vì những chiếc bị trúng nhiều đạn trên động cơ đã không thể quay trở lại. Việc nhiều máy bay quay trở lại căn cứ với phần thân lỗ chỗ vết đạn là một bằng chứng mạnh mẽ rằng trúng đạn ở thân máy bay có thể (và do đó nên) chấp nhận được. Nếu đến phòng hồi sức cấp cứu, bạn sẽ trông thấy số người bị bắn ở chân nhiều hơn rất nhiều so với số người bị bắn ở ngực; đó là vì những người bị bắn vào ngực đã không thể nào qua khỏi.

Đây là một mẹo toán học cũ khiến bức tranh hoàn toàn rõ ràng: Cho một vài biến số bằng không. Trong trường hợp này, biến số cần điều chỉnh là xác suất để một máy bay trúng đạn vào động cơ mà vẫn quay về được. Gán cho xác suất đó bằng không có nghĩa là một lần trúng đạn duy nhất vào động cơ chắc chắn sẽ triệt hạ chiếc máy bay đó. Như vậy thì dữ liệu sẽ trông như thế nào? Bạn có thể thấy những chiếc máy bay quay trở về với vết đạn lỗ chỗ trên cánh, thân và mũi - nhưng không có lỗ nào trên động cơ. Các nhà phân tích quân sự có hai phương án giải thích việc này: Hoặc là đạn của người Đức bắn trúng tất cả các phần của máy bay trừ động cơ, hoặc là động cơ là tử huyệt của máy bay. Cả hai giả thiết đều giải thích cho dữ liệu đó, nhưng giả thiết thứ hai hợp lý hơn nhiều. Lớp giáp cần được bọc ở những nơi không có lỗ đạn.

Khuyến nghị của Wald nhanh chóng được áp dụng và vẫn còn được hải quân, không quân sử dụng trong chiến tranh Triều Tiên và Việt Nam. Tôi không biết chính xác bao nhiêu máy bay chiến đấu của Mỹ đã được cứu, mặc dù các chuyên gia phân tích dữ liệu thế hệ sau của SRG trong quân đội ngày nay hẳn nắm rõ. Các quan chức quốc phòng Mỹ biết rõ rằng bên thắng trận không chỉ nhờ vào việc gan dạ hơn đối phương hay được Chúa ưu ái hơn. Kẻ chiến thắng thường là những người giảm được 5% số máy bay bị bắn hạ, hoặc tiết kiệm thêm 5% nhiên liệu, hoặc có thêm 5% lượng chất dinh dưỡng cho bộ binh với chỉ 95% chi phí. Đó không phải là những gì làm nên các bộ phim về đề tài chiến tranh, mà là những gì làm nên một cuộc chiến thực thụ. Và nơi nào toán học cũng góp mặt.

Với một nhà toán học, cấu trúc ẩn sau bài toán lỗ đạn là một hiện tượng gọi là thiên lệch kẻ sống sót. Nó xảy ra hết lần này đến lần khác, dưới đủ mọi hoàn cảnh. Và khi bạn quen với nó, giống như Wald, bạn sẽ là người đầu tiên chú ý tới nó bất kể nó có lẩn trốn ở đâu.

Nếu không có cấu trúc nghiêm ngặt của toán học, lẽ thường có thể đưa ta đi lạc lối.

Ta có thể phát biểu lại lời của Clausewitz như sau: Toán học là sự mở rộng của lẽ thường theo các cách khác.

Bertrand Russell từng viết trong “Nghiên cứu toán học” năm 1902: “Những điều tốt đẹp nhất trong toán học xứng đáng được học không chỉ như một nghĩa vụ, mà còn đáng được hợp nhất thành một phần của suy nghĩ thường nhật và nghiền ngẫm trong trí óc với một sự khích lệ không ngừng nghỉ”.